monolog

1. Устанавливаем

composer require monolog/monolog

2. Подключаем, если composer autoload ещё не подключен

require_once 'vendor/autoload.php';

3. Создаём логгер в нашем крон-скрипте

use Monolog\Logger;
use Monolog\Handler\StreamHandler;
$logger = new Logger('main');
$logger->setHandlers(
    array(
        new StreamHandler('php://stdout'),
        new StreamHandler('php://stderr', Logger::ERROR),
    )
);
// это сообщение будет сохранено в файл
$logger->info('Info message');
// это сообщение будет сохранено в файл и отправлено на почту
$logger->error('Error message');